Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=0^infty 2^-n / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma da série infinita sumn=0^infty 2^-n / 2. Isso significa que precisamos somar todos os termos dessa série que vão de n = 0 até o infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. A gente vai precisar identificar essa razão e aplicar a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série como uma série geométrica. Observe que cada termo da série sumn=0^infty 2^-n / 2 pode ser escrito como (1raiz2)^n. Isso mostra que a série tem a forma geral de uma série geométrica, que é sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor da razão r. No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
r = 1raiz2
É importante verificar se o valor absoluto da razão é menor que 1 para garantir que a série converge, ou seja, tem uma soma finita. Como 1raiz2 approx 0,707 < 1, a condição para convergência está satisfeita.

Passo 4

Com a série identificada como geométrica e sabendo que ela converge, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • S é a soma da série.
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão.

Passo 5

Vamos agora aplicar a fórmula. Primeiro, identificamos o primeiro termo a. Quando n = 0:
a = 2^-0 / 2 = 2^0 = 1
Então, substituindo a = 1 e r = 1raiz2 na fórmula:
S = 11 - 1raiz2 = 1raiz2 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1
Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por (raiz2 + 1):
S = raiz2 (raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2

Resposta

A soma da série é 2 + raiz2.

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