Calcule a soma das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma da série infinita
. Isso significa que precisamos somar todos os termos dessa série que vão de
até o infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. A gente vai precisar identificar essa razão e aplicar a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série como uma série geométrica. Observe que cada termo da série
pode ser escrito como
. Isso mostra que a série tem a forma geral de uma série geométrica, que é
, onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
Agora, vamos identificar o valor da razão
. No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
É importante verificar se o valor absoluto da razão é menor que 1 para garantir que a série converge, ou seja, tem uma soma finita. Como
, a condição para convergência está satisfeita.
Passo 4
Com a série identificada como geométrica e sabendo que ela converge, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
-
é a soma da série. -
é o primeiro termo. -
é a razão.
Passo 5
Vamos agora aplicar a fórmula. Primeiro, identificamos o primeiro termo
. Quando
:
Então, substituindo
e
na fórmula:
Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A soma da série é
.
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