Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=1^infty 9^-n 4^n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita sumn=1^infty 9^-n cdot 4^n+1. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação da fórmula. Observamos que:
9^-n = (19)^n
4^n+1 = 4 cdot 4^n
Então, substituindo na série original:
sumn=1^infty 9^-n cdot 4^n+1 = sumn=1^infty (19)^n cdot 4 cdot 4^n

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos semelhantes:
(19)^n cdot 4^n = (49)^n
Portanto, a série fica:
sumn=1^infty 4 cdot (49)^n
Podemos fatorar o 4 fora da soma:
4 cdot sumn=1^infty (49)^n

Passo 4

Reconhecemos que temos uma série geométrica da forma sumn=1^infty ar^n = ar1 - r , onde 4 cdot (49)1 - 49 = 16959 = 165 e . A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando os valores:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=0^infty 2^-n / 2
Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=0^infty(12)^n
Calcule o limite.
lim x 1 x-x^2x^3-4 x^2+4 x
Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=1^infty e^-n