Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=2^infty n^2n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série . Vamos utilizar conhecimentos sobre séries infinitas e métodos para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Isso vai nos ajudar a entender melhor o comportamento da série.

Passo 3

Observando o termo n^2n^2-1 = 1 + 1n^2-1 , podemos manipulá-lo da seguinte forma:
sumn=2^infty (1 + 1n^2-1) = sumn=2^infty 1 + sumn=2^infty 1n^2-1
Assim, a série original pode ser reescrita como:

Passo 4

Vamos analisar separadamente as duas séries resultantes:
  1. : Essa é uma série harmônica simples onde somamos 1 infinitamente muitas vezes. Claramente, essa série diverge, ou seja, não tem uma soma finita.
  2. : Essa série pode ser simplificada ainda mais usando frações parciais, mas como a primeira parte já diverge, não importa o comportamento dessa segunda série para nossa conclusão final.

Passo 5

Como a primeira série já diverge para o infinito, a soma total da série original também diverge. Mesmo que a segunda parte pudesse convergir, a presença de uma parte divergente faz com que a série inteira seja divergente.

Resposta

A soma da série diverge para o infinito.

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