Calcule a soma das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série
. Vamos utilizar conhecimentos sobre séries infinitas e métodos para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Isso vai nos ajudar a entender melhor o comportamento da série.
Passo 3
Observando o termo
, podemos manipulá-lo da seguinte forma:
Assim, a série original pode ser reescrita como:
Passo 4
Vamos analisar separadamente as duas séries resultantes:
-
: Essa é uma série harmônica simples onde somamos 1 infinitamente muitas vezes. Claramente, essa série diverge, ou seja, não tem uma soma finita. -
: Essa série pode ser simplificada ainda mais usando frações parciais, mas como a primeira parte já diverge, não importa o comportamento dessa segunda série para nossa conclusão final.
Passo 5
Como a primeira série
já diverge para o infinito, a soma total da série original também diverge. Mesmo que a segunda parte pudesse convergir, a presença de uma parte divergente faz com que a série inteira seja divergente.
Resposta
A soma da série
diverge para o infinito.
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(b)
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