Calcule a soma das séries, justificando:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita:
Pra resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar termos complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da série que depende de :
Essa expressão pode ser simplificada usando frações parciais, que é uma técnica pra quebrar frações difíceis em partes mais simples.

Passo 3

Vamos decompôr em frações parciais. A ideia é encontrar e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na série original:
Agora, vamos somar os termos:
Observamos que a maioria dos termos se cancela (isso é o que chamamos de série telescópica), restando apenas o primeiro termo:

Resposta

Portanto, a soma da série é:

Exercícios relacionados

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
Mostre que a série é divergente.
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(b)