Calcule a soma das séries, justificando:
(b) sumn=2^infty 1(alpha^2+3) n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita:
sumn=2^infty 1(alpha^2+3) n(n+1)
Pra resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar termos complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da série que depende de 1n(n+1) :
Essa expressão pode ser simplificada usando frações parciais, que é uma técnica pra quebrar frações difíceis em partes mais simples.

Passo 3

Vamos decompôr 1n(n+1) = An + Bn+1 em frações parciais. A ideia é encontrar 1 = A(n+1) + Bn e 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 tais que:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1
Multiplicando ambos os lados por 1n(n+1) = 1n - 1n+1 , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na série original:
sumn=2^infty 1(alpha^2+3) n(n+1) = 1alpha^2+3 sumn=2^infty ( 1n - 1n+1 )
Agora, vamos somar os termos:
sumn=2^infty ( 1n - 1n+1 ) = ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + cdots
Observamos que a maioria dos termos se cancela (isso é o que chamamos de série telescópica), restando apenas o primeiro termo:
sumn=2^infty ( 1n - 1n+1 ) = 12

Resposta

Portanto, a soma da série é:
sumn=2^infty 1(alpha^2+3) n(n+1) = 12(alpha^2 + 3)

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