Calcule a soma das séries, justificando:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita:
Pra resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar termos complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da série que depende de
:
Essa expressão pode ser simplificada usando frações parciais, que é uma técnica pra quebrar frações difíceis em partes mais simples.
Passo 3
Vamos decompôr
em frações parciais. A ideia é encontrar
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na série original:
Agora, vamos somar os termos:
Observamos que a maioria dos termos se cancela (isso é o que chamamos de série telescópica), restando apenas o primeiro termo:
Resposta
Portanto, a soma da série é:
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)
(i)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
(h)
Mostre que a série
é divergente.
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(b)
(b)