Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
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Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso está dentro do assunto de séries numéricas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender critérios de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . Queremos ver como esse termo se comporta quando fica bem grande, ou seja, quando . Isso nos ajuda a entender se a soma dos termos tende a um valor finito (convergente) ou não (divergente).
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observe que, quando é muito grande, no denominador fica quase irrelevante comparado com . Então, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Razão, que nos diz que para uma série , se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Simplificando mais:
Passo 5
Como o limite , segundo o Teste da Razão, a série converge.