Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i) sumn=1^infty 3^n1+(4 alpha)^n

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso está dentro do assunto de séries numéricas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender critérios de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . Queremos ver como esse termo se comporta quando fica bem grande, ou seja, quando . Isso nos ajuda a entender se a soma dos termos tende a um valor finito (convergente) ou não (divergente).

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observe que, quando 3^n1+(4 alpha)^n approx 3^n(4 alpha)^n = (34 alpha)^n é muito grande, no denominador fica quase irrelevante comparado com . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Razão, que nos diz que para uma série limn to infty |3^n+11+(4 alpha)^n+13^n1+(4 alpha)^n| = limn to infty 3^n+1 cdot (1 + (4 alpha)^n)3^n cdot (1 + (4 alpha)^n+1) = limn to infty 3 cdot (1 + (4 alpha)^n)1 + 4 alpha cdot (4 alpha)^n , se = limn to infty 3 + 3 cdot (4 alpha)^n1 + 4 alpha cdot (4 alpha)^n = 3infty = 0 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Simplificando mais:

Passo 5

Como o limite , segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge, utilizando o Teste da Razão.

Exercícios relacionados