Mostre que a série é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a série é divergente. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série divergente e usar um teste de divergência simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente. Uma série é divergente se a soma dos seus termos não chega a um número finito quando somamos infinitamente. Ou seja, a soma vai para mais infinito ou não se estabiliza.

Passo 3

Agora, olhemos para a série . Aqui, é uma constante e é o termo geral da série. Essa série é conhecida como a série harmônica multiplicada por .

Passo 4

Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Série Harmônica. Sabemos que a série harmônica é divergente. Isso significa que somar nunca chega a um número finito.

Passo 5

Como é uma constante, multiplicar cada termo da série harmônica por não muda o fato de que a soma vai para infinito. Ou seja, também será divergente, já que estamos apenas escalando a série harmônica, que já sabemos que diverge.

Resposta

Portanto, a série é divergente.

Exercícios relacionados

Calcule a soma das séries, justificando:
(b)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(b)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(e)