Mostre que a série
é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a série
é divergente. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série divergente e usar um teste de divergência simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser divergente. Uma série
é divergente se a soma dos seus termos não chega a um número finito quando somamos infinitamente. Ou seja, a soma vai para mais infinito ou não se estabiliza.
Passo 3
Agora, olhemos para a série
. Aqui,
é uma constante e
é o termo geral da série. Essa série é conhecida como a série harmônica multiplicada por
.
Passo 4
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Série Harmônica. Sabemos que a série harmônica
é divergente. Isso significa que somar
nunca chega a um número finito.
Passo 5
Como
é uma constante, multiplicar cada termo da série harmônica por
não muda o fato de que a soma vai para infinito. Ou seja,
também será divergente, já que estamos apenas escalando a série harmônica, que já sabemos que diverge.
Resposta
Portanto, a série
é divergente.
Exercícios relacionados
Calcule a soma das séries, justificando:
(b)
(b)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)
(i)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(b)
(b)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(e)
(e)