Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(b) sumn=1^infty n^2n(n+5 alpha)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . A matéria que estamos lidando aqui é sobre convergência ou divergência de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar critérios de convergência, como o Teste da Comparação ou o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observando o termo geral:
n^2n(n+5 alpha) = n^2n^2 + 5alpha n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando n^2n^2 + 5alpha n = 11 + 5alphan cresce bastante, ou seja, tendemos ao infinito. Nos interessa o comportamento assintótico da função:
11 + 0 = 1
Quando , , então:
Isso significa que o termo geral da série tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 4

Sabemos que para uma série convergir, é necessário que o termo geral tende a 0 quando tende ao infinito. No nosso caso, o termo geral tende a 1, que não é zero.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero conforme cresce.

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