Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)
(f)
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita da forma
. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor definido) ou diverge (se ela não tem um valor definido). Para resolver isso, vamos usar o critério da comparação com séries conhecidas, especialmente aquelas que envolvem potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Isso porque, para grandes valores de
, esses termos vão dominar os outros menores.
Passo 3
Agora, simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
Então, a série original se comporta de forma semelhante a
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, que converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então essa série p converge.
Passo 5
Como a série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
(d)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(g)
(g)
Calcule a soma das séries, justificando:
(a)
(a)
Calcule a soma das séries, justificando:
©
©