Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f) sumk=1^infty k^5-3 k^4+22 alpha k^8+k-1

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita da forma . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor definido) ou diverge (se ela não tem um valor definido). Para resolver isso, vamos usar o critério da comparação com séries conhecidas, especialmente aquelas que envolvem potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Isso porque, para grandes valores de , esses termos vão dominar os outros menores.

Passo 3

Agora, simplificamos a fração considerando apenas os termos de maior grau:
k^5 - 3k^4 + 22 alpha k^8 +k -1 approx k^52 alpha k^8 = 12 alpha cdot 1k^3
Então, a série original se comporta de forma semelhante a .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, que converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então essa série p converge.

Passo 5

Como a série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir, pelo teste da comparação, que a série também converge.

Resposta

A série é convergente.

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