Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d) sumn=1^infty nn^2 alpha+2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries matemáticas, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando fica bem grande (ou seja, tende ao infinito). No denominador , o termo que mais cresce é se . Portanto, para valores grandes de , podemos aproximar o denominador por .

Passo 3

Com essa aproximação, a fração original fica aproximadamente . Isso simplifica nossa série para algo parecido com uma série p, que tem a forma .

Passo 4

Sabemos pelo Teste da Série p que a série converge se e diverge se . No nosso caso, o é .

Passo 5

Agora, vamos determinar para quais valores de 2 alpha - 1 > 1 2 alpha > 2 alpha > 1 a condição é satisfeita:

Passo 6

Portanto, se , o e a série converge. Isso significa que a série original também converge por comparação.

Passo 7

Por outro lado, se , então , o que faz com que . Nesse caso, a série diverge, implicando que a série original também diverge.

Resposta

A série converge se e diverge se .

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