Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries matemáticas, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande (ou seja, tende ao infinito). No denominador
, o termo que mais cresce é
se
. Portanto, para valores grandes de
, podemos aproximar o denominador por
.
Passo 3
Com essa aproximação, a fração original
fica aproximadamente
. Isso simplifica nossa série para algo parecido com uma série p, que tem a forma
.
Passo 4
Sabemos pelo Teste da Série p que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso, o
é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de
a condição
é satisfeita:
Passo 6
Portanto, se
, o
e a série
converge. Isso significa que a série original também converge por comparação.
Passo 7
Por outro lado, se
, então
, o que faz com que
. Nesse caso, a série
diverge, implicando que a série original também diverge.
Resposta
A série
converge se
e diverge se
.
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(g)
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(a)
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(f)
(f)
Calcule a soma das séries, justificando:
(a)
(a)