Calcule as somas parciais s2, s3, s4, s5 e sn da série sumn=2^infty 3n(n-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as somas parciais e da série . Aqui, estamos lidando com séries numéricas e somas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa fração e calcular as somas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Isso pode ser feito usando frações parciais. A ideia é reescrever a fração como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos encontrar constantes 3n(n-1) = An-1 + Bn e 3 = A n + B(n-1) tais que:
3 = A n + B n - B
Multiplicando ambos os lados por 3 = (A + B) n - B , temos:
A + B = 0 e -B = 3
Expandindo:
3n(n-1) = 3n-1 - 3n
Agrupando os termos:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo, encontramos e . Portanto:

Passo 4

Agora que simplificamos a fração, podemos escrever a soma parcial sk = sumn=2^k ( 3n-1 - 3n ) da série até o termo :
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 5

Vamos calcular s2 = 32-1 - 32 = 3 - 32 = 32 :

Passo 6

Agora, s3 = ( 31 - 32 ) + ( 32 - 33 ) = 3 - 33 = 3 - 1 = 2 :

Passo 7

Vamos para s4 = s3 + ( 33 - 34 ) = 2 + 1 - 34 = 3 - 34 = 94 :

Passo 8

Calculando s5 = s4 + ( 34 - 35 ) = 94 + 34 - 35 = 3 - 35 = 125 :

Passo 9

Para a soma geral sn = 3 - 3n , seguimos o mesmo padrão. Ao somar todos os termos, a maioria se cancela:

Resposta

As somas parciais são:
s2 = 32, s3 = 2, s4 = 94, s5 = 125, e sn = 3 - 3n

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