Calcule as somas parciais
e
da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as somas parciais
e
da série
. Aqui, estamos lidando com séries numéricas e somas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa fração e calcular as somas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Isso pode ser feito usando frações parciais. A ideia é reescrever a fração como a diferença de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo, encontramos
e
. Portanto:
Passo 4
Agora que simplificamos a fração, podemos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora,
:
Passo 7
Vamos para
:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Para a soma geral
, seguimos o mesmo padrão. Ao somar todos os termos, a maioria se cancela:
Resposta
As somas parciais são:
Exercícios relacionados
Encontre a soma da série:
Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
Seja
. Determine
Calcule .
Calcule
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.