Encontre a soma da série:
sumn=1^infty 3^n5^n cdot n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita:
sumn=1^infty 3^n5^n cdot n!
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve expoentes e fatoriais. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das séries exponenciais e entender como manipular expressões com potências e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Observamos que sumn=1^infty (35)^nn! pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! , que é dada por:
Perceba que nossa série é muito parecida com essa, exceto que a nossa soma começa em e o aqui é .

Passo 4

Para ajustar nossa série à fórmula da exponencial, vamos separar o termo quando e^x = x^00! + sumn=1^infty x^nn! = 1 + sumn=1^infty x^nn! na série de sumn=1^infty x^nn! = e^x - 1 :
Então, podemos isolar a soma que nos interessa:

Passo 5

Aplicando isso à nossa série, onde sumn=1^infty (35)^nn! = e^35 - 1 :

Resposta

A soma da série é .

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