Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando séries. Esse exercício tá relacionado ao cálculo de integrais usando séries de Taylor. Para isso, vamos precisar expandir a função
em uma série e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função cosseno. A série de Taylor de
em torno de
é:
Aqui,
é simplesmente
, então podemos substituir:
Passo 3
Vamos agora integrar a série termo a termo no intervalo de 0 a 0,5:
Passo 4
Calculando a integral de
:
Então, a série fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma aproximação. Vamos considerar, por exemplo, os termos para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando esses termos:
Resposta
O valor aproximado da integral
é aproximadamente 0,4969.
Exercícios relacionados
Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
Seja
. Determine
(a)
(a)
Encontre a soma da série:
Calcule as somas parciais
e
da série
.