Use séries para calcular o valor aproximado da integral definida.
integral0^0,5 cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando séries. Esse exercício tá relacionado ao cálculo de integrais usando séries de Taylor. Para isso, vamos precisar expandir a função em uma série e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função cosseno. A série de Taylor de cos(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! em torno de cos(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n(2n)! é:
Aqui, é simplesmente , então podemos substituir:

Passo 3

Vamos agora integrar a série termo a termo no intervalo de 0 a 0,5:
integral0^0,5 cos(x^2) dx = integral0^0,5 sumn=0^infty (-1)^n x^4n(2n)! dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! integral0^0,5 x^4n dx

Passo 4

Calculando a integral de integral0^0,5 x^4n dx = [ x^4n+14n+1 ]0^0,5 = (0,5)^4n+14n+1 :
sumn=0^infty (-1)^n (0,5)^4n+1(2n)! (4n+1)
Então, a série fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma aproximação. Vamos considerar, por exemplo, os termos para (-1)^0 (0,5)^10! cdot 1 = 0,51 cdot 1 = 0,5 :
Para (-1)^1 (0,5)^52! cdot 5 = -1 cdot 0,031252 cdot 5 = -0,003125 :
(-1)^2 (0,5)^94! cdot 9 = 1 cdot 0,00195312524 cdot 9 approx 0,000009
Para 0,5 - 0,003125 + 0,000009 approx 0,496884 :
Para :
Somando esses termos:

Resposta

O valor aproximado da integral é aproximadamente 0,4969.

Exercícios relacionados

Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
f(x) = cos(pi x)
Seja f(x, y) = x * y + 3. Determine
(a) f(x+y, x-y)
Encontre a soma da série:
sumn=1^infty 3^n5^n cdot n!
Calcule as somas parciais s2, s3, s4, s5 e sn da série sumn=2^infty 3n(n-1).