Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 5^n+14^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumn=1^infty 5^n+14^n converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular sua soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente séries geométricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que 5^n+14^n pode ser reescrita como 5 cdot ( 54 )^n. Assim, a série fica:
sumn=1^infty 5 cdot ( 54 )^n

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, para alinhar com a forma geral, vamos reescrever a nossa série começando de n=0:
5 cdot sumn=1^infty ( 54 )^n = 5 cdot ( sumn=0^infty ( 54 )^n - 1 )
Então, temos a = 1 e r = 54.

Passo 4

Agora, para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor de r.
Critério de Convergência para Séries Geométricas:
  • A série converge se |r| < 1.
  • A série diverge se |r| >= 1.
No nosso caso, r = 54, então:
| 54 | = 1,25 > 1

Passo 5

Como |r| = 1,25 que é maior que 1, de acordo no critério de convergência das séries geométricas, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos não se aproxima de um valor finito, mas sim tende ao infinito.

Resposta

A série sumn=1^infty 5^n+14^n diverge.

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