Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular sua soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente séries geométricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que pode ser reescrita como . Assim, a série fica:
Passo 3
Reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, para alinhar com a forma geral, vamos reescrever a nossa série começando de :
Então, temos e .
Passo 4
Agora, para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor de .
Critério de Convergência para Séries Geométricas:
A série converge se .
A série diverge se .
No nosso caso, , então:
Passo 5
Como |r| = 1,25 que é maior que 1, de acordo no critério de convergência das séries geométricas, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos não se aproxima de um valor finito, mas sim tende ao infinito.