Calcule
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular duas expressões que envolvem a unidade imaginária
. Isso está relacionado com matérias de séries e produtos de potências. Para resolver, vamos precisar saber como as potências de
se comportam e como somar e multiplicar essas potências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para isso, precisamos entender o padrão das potências de
:
Perceba que as potências de
repetem a cada 4 termos.
Passo 3
Cada ciclo de 4 termos soma:
Como são 201 termos, vamos ver quantos ciclos completos de 4 temos e quantos termos sobraram:
Isso significa que temos 50 ciclos que somam 0 e mais 1 termo extra.
Passo 4
O termo extra é
. Sabemos que:
Portanto, a soma total
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Quando multiplicamos potências de
, podemos somar os expoentes:
Onde
.
Passo 6
A soma dos números de 1 a 100 é uma progressão aritmética que pode ser calculada por:
Então,
Passo 7
Sabemos que
. Para simplificar
, dividimos 5050 por 4:
Isso significa que: