Calcule z1=sumn=1^201 i^n e z2=i i^2 ldots i^100.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular duas expressões que envolvem a unidade imaginária . Isso está relacionado com matérias de séries e produtos de potências. Para resolver, vamos precisar saber como as potências de se comportam e como somar e multiplicar essas potências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular i^1 = i i^2 = -1 i^3 = -i i^4 = 1 i^5 = i (e assim por diante) . Para isso, precisamos entender o padrão das potências de :
Perceba que as potências de repetem a cada 4 termos.

Passo 3

Cada ciclo de 4 termos soma:
i + (-1) + (-i) + 1 = 0
Como são 201 termos, vamos ver quantos ciclos completos de 4 temos e quantos termos sobraram:
201 div 4 = 50 ciclos comp<=tos com resto 1
Isso significa que temos 50 ciclos que somam 0 e mais 1 termo extra.

Passo 4

O termo extra é i^201 = i^4 times 50 + 1 = (i^4)^50 times i^1 = 1^50 times i = i . Sabemos que:
z1 = 50 times 0 + i = i
Portanto, a soma total é:

Passo 5

Agora, vamos calcular z2 = i^1+2+3+dots+100 = i^S . Quando multiplicamos potências de , podemos somar os expoentes:
Onde .

Passo 6

A soma dos números de 1 a 100 é uma progressão aritmética que pode ser calculada por:
S = 100 times (1 + 100)2 = 100 times 1012 = 5050
Então,
z2 = i^5050

Passo 7

Sabemos que 5050 div 4 = 1262 com resto 2 . Para simplificar i^5050 = i^4 times 1262 + 2 = (i^4)^1262 times i^2 = 1^1262 times (-1) = -1 , dividimos 5050 por 4:
Isso significa que:

Resposta

e

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