Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre investigar se a integral imprópria
onde
, converge ou não. Para isso, precisamos entender o que é uma integral imprópria e como verificar a sua convergência. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla que temos aqui. A expressão
é a função que estamos integrando sobre a região
, que é o quadrado definido por
e
.
Passo 3
Agora, uma integral é chamada de imprópria quando a função a ser integrada apresenta pontos de descontinuidade ou se estende a um domínio infinito. No nosso caso, o problema ocorre quando
ou
se aproximam de zero, porque o denominador
tende a infinito, o que pode fazer a integral divergir.
Passo 4
Para investigar a convergência, vamos calcular a integral dupla. Podemos separar a integral em duas integrais simples, já que os limites são de 0 a 1 para ambos
e
:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais simples. A integral de
em relação a
é uma integral de potência. A fórmula para integrar
é:
onde
é a constante de integração. No nosso caso,
:
Passo 6
Aplicando os limites de 0 a 1:
O mesmo vale para a integral em relação a
:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais simples para obter o valor da integral dupla:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é igual a 4.