Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
integral duplaD d x d yraizx y,
D:[0,1] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre investigar se a integral imprópria
integral duplaD dx, dyraizx y,
onde , converge ou não. Para isso, precisamos entender o que é uma integral imprópria e como verificar a sua convergência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla que temos aqui. A expressão
1raizx y
é a função que estamos integrando sobre a região , que é o quadrado definido por e .

Passo 3

Agora, uma integral é chamada de imprópria quando a função a ser integrada apresenta pontos de descontinuidade ou se estende a um domínio infinito. No nosso caso, o problema ocorre quando ou se aproximam de zero, porque o denominador tende a infinito, o que pode fazer a integral divergir.

Passo 4

Para investigar a convergência, vamos calcular a integral dupla. Podemos separar a integral em duas integrais simples, já que os limites são de 0 a 1 para ambos integral duplaD dx, dyraizx y = ( integral0^1 dxraizx ) ( integral0^1 dyraizy ) e :

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais simples. A integral de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, em relação a integral dxraizx = integral x^-1/2 dx = x^1/21/2 + C = 2raizx + C é uma integral de potência. A fórmula para integrar é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, :

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a 1:
integral0^1 dxraizx = 2raiz1 - 2raiz0 = 2 - 0 = 2
O mesmo vale para a integral em relação a integral0^1 dyraizy = 2raiz1 - 2raiz0 = 2 - 0 = 2 :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais simples para obter o valor da integral dupla:
integral duplaD dx, dyraizx y = 2 times 2 = 4

Resposta

A integral imprópria
integral duplaD dx, dyraizx y
converge e seu valor é igual a 4.

Exercícios relacionados