Calcule
t) integral tg^4(2 t+1) d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, podemos reescrever como .

Passo 3

Expandindo tan^4(2t + 1) = sec^4(2t + 1) - 2sec^2(2t + 1) + 1 , temos:
integral tan^4(2t + 1) , dt = integral (sec^4(2t + 1) - 2sec^2(2t + 1) + 1) , dt
Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Começando com integral sec^4x , dx = integral (tan^2x + 1)sec^2x , dx . Para integrar integral (u^2 + 1) , du = u^33 + u + C = tan^3x3 + tan x + C , usamos a identidade :
Fazendo a substituição , , a integral se torna:

Passo 5

Agora, aplicando isso à nossa integral com a função integral sec^4(2t + 1) , dt = tan^3(2t + 1)3 cdot 2 + tan(2t + 1)2 + C = tan^3(2t + 1)6 + tan(2t + 1)2 + C :
Aqui, dividimos por 2 devido à substituição interna , , então .

Passo 6

A próxima parte da integral é -2 integral sec^2(2t + 1) , dt = -2 ( tan(2t + 1)2 ) = -tan(2t + 1) . Sabemos que , então:

Passo 7

Finalmente, integramos o último termo .

Passo 8

Agora, juntando todas as partes:
integral tan^4(2t + 1) , dt = ( tan^3(2t + 1)6 + tan(2t + 1)2 ) - tan(2t + 1) + t + C
Simplificando:
integral tan^4(2t + 1) , dt = tan^3(2t + 1)6 - tan(2t + 1)2 + t + C

Resposta

integral tan^4(2t + 1) , dt = tan^3(2t + 1)6 - tan(2t + 1)2 + t + C

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