Determine o vetor gradiente de f(x, y) = x^2/16 + y^2/9 no ponto (4, 3) e a taxa de variação na direção de pi/4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função no ponto e também a taxa de variação nessa direção de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar conceitos de vetores unitários e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto :

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação na direção de , precisamos de um vetor unitário nessa direção. O ângulo corresponde a , e o vetor unitário é:

Passo 6

A taxa de variação na direção de é o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

O vetor gradiente de no ponto é e a taxa de variação na direção de é .

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