Determine o vetor gradiente de
no ponto
e a taxa de variação na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
e também a taxa de variação nessa direção de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar conceitos de vetores unitários e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto
:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação na direção de
, precisamos de um vetor unitário nessa direção. O ângulo
corresponde a
, e o vetor unitário é:
Passo 6
A taxa de variação na direção de
é o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
O vetor gradiente de
no ponto
é
e a taxa de variação na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcule o valor máximo de
no ponto
.
Calcule a taxa de variação da função
na direção
no ponto
.
Determine o vetor gradiente da função
.
Determine as equações simétricas da reta normal à superfície
, no ponto
.