Calcule a taxa de variação da pressão no ponto Q(1, 2, 1) na direção e sentido do vetor v = (0, 1, 1), onde a pressão (em milibares) é dada por f(x, y, z) = 1000 + 0.01 * (y * z^2 + x^2 * z - x * y^2), com x, y e z em quilômetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a taxa de variação da pressão no ponto na direção e sentido do vetor . Estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar encontrar o gradiente da função de pressão e depois projetá-lo na direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de pressão dada:
Aqui, representa a pressão em milibares, e estão em quilômetros.

Passo 3

O próximo passo é calcular o gradiente da função . O gradiente ( ) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Vamos calcular cada componente:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde é a norma (magnitude) de .
Calculando a norma:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Com o gradiente e o vetor unitário , podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Realizando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação da pressão no ponto na direção do vetor é aproximadamente milibares por quilômetro.

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