Calcule a taxa de variação da pressão no ponto na direção e sentido do vetor , onde a pressão (em milibares) é dada por , com e em quilômetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a taxa de variação da pressão no ponto na direção e sentido do vetor . Estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar encontrar o gradiente da função de pressão e depois projetá-lo na direção do vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de pressão dada:
Aqui, representa a pressão em milibares, e estão em quilômetros.
Passo 3
O próximo passo é calcular o gradiente da função . O gradiente () é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Vamos calcular cada componente:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde é a norma (magnitude) de .
Calculando a norma:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Com o gradiente e o vetor unitário , podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Realizando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da pressão no ponto na direção do vetor é aproximadamente milibares por quilômetro.