A equação da superfície de uma montanha é , onde as distâncias são medidas em metros. Suponha que os pontos do eixo positivo dos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos y ao norte e que um alpinista está no ponto .
Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da superfície da montanha: . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Vamos precisar entender como calcular a inclinação da montanha na direção que o alpinista está se movendo, que é para sudoeste. Isso vai nos ajudar a saber se ele está subindo ou descendo e qual a velocidade dessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o alpinista está: no ponto . Vamos confirmar se esse ponto está na superfície da montanha. Substituindo e na equação da montanha:
Então, sim, ele está de fato na superfície.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a direção para sudoeste. Sudoeste significa que ele está se movendo para baixo no eixo x (oeste) e para baixo no eixo y (sudoeste). Vamos representar essa direção como um vetor. Como está indo para oeste e sul, os componentes do vetor serão negativos:
Mas precisamos que esse vetor seja unitário (de comprimento 1) para facilitar os cálculos. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção sudoeste é:

Passo 4

Para saber se ele está subindo ou descendo, vamos calcular a derivada direcional da função na direção . A derivada direcional nos diz a taxa de variação de na direção em questão.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :

Passo 6

A derivada direcional é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 7

O valor negativo de indica que o alpinista está descendo na direção sudoeste. A magnitude dessa derivada direcional, , representa a velocidade com que ele está descendo em metros por unidade de movimento nessa direção.

Resposta

O alpinista está descendo e sua velocidade de descida na direção sudoeste é metros por unidade de movimento.

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