Sabendo que a temperatura na localidade (x, y) é T(x, y) = 20 + 10 e^(-0.3 (x^2 + y^2)) em C, e que um besouro carrega um minúsculo termômetro ao longo do caminho r(t) = cos(t - 2), sen 2t, com t em segundos, como na figura abaixo. Calcule a variação da temperatura em t = 0,6 s ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura em uma localidade, dada por em graus Celsius. Além disso, um besouro está se movendo ao longo de um caminho definido por , onde está em segundos. O objetivo é calcular como a temperatura varia no instante segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do besouro no instante segundos substituindo na função :
Calculando os valores:
Portanto, a posição é aproximadamente .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Substituindo a posição do besouro no gradiente:
Calculando o expoente:
Então:
Portanto, o gradiente é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo , ou seja, :
Substituindo :
Calculando os valores:
Portanto, .

Passo 6

Para encontrar a variação da temperatura em segundos, usamos a fórmula da derivada ao longo do caminho:
Substituindo os valores obtidos:

Resposta

A variação da temperatura em segundos é aproximadamente .

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