Sabendo que a temperatura na localidade é em , e que um besouro carrega um minúsculo termômetro ao longo do caminho , sen , com em segundos, como na figura abaixo. Calcule a variação da temperatura em ?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura em uma localidade, dada por em graus Celsius. Além disso, um besouro está se movendo ao longo de um caminho definido por , onde está em segundos. O objetivo é calcular como a temperatura varia no instante segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do besouro no instante segundos substituindo na função :
Calculando os valores:
Portanto, a posição é aproximadamente .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura . O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo a posição do besouro no gradiente:
Calculando o expoente:
Então:
Portanto, o gradiente é aproximadamente .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo , ou seja, :
Substituindo :
Calculando os valores:
Portanto, .
Passo 6
Para encontrar a variação da temperatura em segundos, usamos a fórmula da derivada ao longo do caminho:
Substituindo os valores obtidos:
Resposta
A variação da temperatura em segundos é aproximadamente .