Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 de uma barra semi-infinita seguindo a equação do calor. O que isso significa? Basicamente, queremos saber como a temperatura varia ao longo da barra ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a Equação da Difusão do Calor, que é dada por:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Além disso, temos condições iniciais e de contorno que vão nos ajudar a resolver a equação. Vamos precisar entender conceitos como séries de Fourier e transformadas de Fourier para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que temos. A condição de contorno é phi(x) = 1 & se 0 < x < 1 0 & se x > 1 , o que significa que na posição , a temperatura é sempre zero, independentemente do tempo. A condição inicial é , onde é uma função definida por:
Isso indica que inicialmente, a temperatura é 1 na região e 0 além disso.
Passo 3
Para resolver a equação do calor com essas condições, vamos usar a transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier na variável espacial u(k, t) = integral0^infty u(x, t) e^-ikx dx . A transformada de Fourier de em relação a é:
Aplicando isso na equação do calor, obtemos uma equação para .
Passo 4
Depois de aplicar a transformada de Fourier, a equação do calor se transforma em:
partial upartial t = -alpha^2 k^2 u
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver. A solução geral dessa equação é:
u(k, t) = u(k, 0) e^-alpha^2 k^2 t
Aqui, é a transformada de Fourier da condição inicial .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar u(k, 0) = integral0^infty phi(x) e^-ikx dx = integral0^1 e^-ikx dx = 1 - e^-ikik . Isso significa calcular a transformada de Fourier da função u(k, t) = 1 - e^-ikik e^-alpha^2 k^2 t :
Portanto, temos:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para obter u(x, t) = 12pi integral-infty^infty u(k, t) e^ikx dk de volta no domínio espacial. A transformada inversa é dada por: