Calcule a temperatura u(x, t) de uma barra semi-infinita
l partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2 u(0, t)=0 u(x, 0)=phi(x) t>0
onde phi(x)=ll1 & 01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 de uma barra semi-infinita seguindo a equação do calor. O que isso significa? Basicamente, queremos saber como a temperatura varia ao longo da barra ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a Equação da Difusão do Calor, que é dada por:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Além disso, temos condições iniciais e de contorno que vão nos ajudar a resolver a equação. Vamos precisar entender conceitos como séries de Fourier e transformadas de Fourier para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que temos. A condição de contorno é phi(x) = 1 & se 0 < x < 1 0 & se x > 1 , o que significa que na posição , a temperatura é sempre zero, independentemente do tempo. A condição inicial é , onde é uma função definida por:
Isso indica que inicialmente, a temperatura é 1 na região e 0 além disso.

Passo 3

Para resolver a equação do calor com essas condições, vamos usar a transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Primeiro, aplicamos a transformada de Fourier na variável espacial u(k, t) = integral0^infty u(x, t) e^-ikx dx . A transformada de Fourier de em relação a é:
Aplicando isso na equação do calor, obtemos uma equação para .

Passo 4

Depois de aplicar a transformada de Fourier, a equação do calor se transforma em:
partial upartial t = -alpha^2 k^2 u
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver. A solução geral dessa equação é:
u(k, t) = u(k, 0) e^-alpha^2 k^2 t
Aqui, é a transformada de Fourier da condição inicial .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar u(k, 0) = integral0^infty phi(x) e^-ikx dx = integral0^1 e^-ikx dx = 1 - e^-ikik . Isso significa calcular a transformada de Fourier da função u(k, t) = 1 - e^-ikik e^-alpha^2 k^2 t :
Portanto, temos:

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para obter u(x, t) = 12pi integral-infty^infty u(k, t) e^ikx dk de volta no domínio espacial. A transformada inversa é dada por:
u(x, t) = 12pi integral-infty^infty 1 - e^-ikik e^-alpha^2 k^2 t e^ikx dk
Substituindo :

Passo 7

Vamos simplificar a integral dividindo-a em duas partes:
u(x, t) = 12pi i integral-infty^infty e^ikx - e^ik(x-1)k e^-alpha^2 k^2 t dk
Essa integral pode ser resolvida usando propriedades da transformada de Fourier e reconhecendo que ela está relacionada com a função de erro ( ).

Passo 8

Finalmente, ao resolver a integral, chegamos à solução para u(x, t) = 12 [ erf ( x2alpha raizt ) - erf ( x - 12alpha raizt ) ] :
A função é a função erro, que aparece frequentemente em soluções de equações de difusão.

Resposta

A temperatura da barra no ponto u(x, t) = 12 [ erf ( x2alpha raizt ) - erf ( x - 12alpha raizt ) ] e no tempo é dada por:

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