Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é:
Para achar as raízes dessa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. O lado direito da equação é , então vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Isso dá:
Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 8

Agora que temos e , a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Exercícios relacionados

Calcule a temperatura de uma barra semi-infinita
onde .
Mostre que o raio de convergência da série de Maclaurin da função é .
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
(a) .
Encontre a série de Maclaurin da função e determine o raio de convergência.