Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Para achar as raízes dessa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. O lado direito da equação é
, então vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Isso dá:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 8
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.