Suponha que
convirja quando
e divirja quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma
que converge quando
e diverge quando
. Nosso objetivo é descobrir se as séries listadas de a a d também convergem ou divergem, usando essas informações. Para isso, precisamos entender sobre raio de convergência e intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o raio de convergência (
) da série original. Sabemos que a série converge para
e diverge para
. O raio de convergência é a distância do centro da série (que é
, já que temos
) até os extremos do intervalo onde a série converge.
A série converge em
, então
deve estar dentro do raio de convergência, ou seja,
.
A série diverge em
, então
está fora do raio de convergência, ou seja,
.
Portanto, sabemos que:
Passo 3
Com o raio de convergência entre 4 e 6, podemos determinar o intervalo de convergência da série. Sabendo que a série é centrada em
, o intervalo de convergência é:
Como
, o intervalo de convergência está entre
, mas sabemos que em
a série converge e em
diverge. Portanto, o intervalo de convergência está no mínimo entre
e algo menor que
.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma das séries:
a.
Aqui, substituímos
, já que:
Precisamos verificar se
está dentro do intervalo de convergência. Como
, e
, então
está dentro do intervalo de convergência.
Portanto, a série converge.
b.
Aqui, temos
. Precisamos verificar se
está dentro do intervalo de convergência.
Sabemos que
, então
, e está fora do intervalo de convergência. Portanto, a série diverge.
c.
Aqui,
. Vamos verificar se
está dentro do intervalo de convergência.
Como
, e
, então
está dentro do intervalo de convergência. Portanto, a série converge.
d.
Aqui, temos
. Vamos verificar se
está dentro do intervalo de convergência.
Sabemos que
, e
, então
está fora do intervalo de convergência. Portanto, a série diverge.
Resposta
a. Converge
b. Diverge
c. Converge
d. Diverge