Suponha que sumn=0^infty cn x^n convirja quando x=-4 e divirja quando x=6. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a. sumn=0^infty cn
b. sumn=0^infty cn 8^n
c. sumn=0^infty cn(-3)^n
d. sumn=0^infty(-1)^n cn 9^n

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma sumn=0^infty cn x^n que converge quando x = -4 e diverge quando x = 6. Nosso objetivo é descobrir se as séries listadas de a a d também convergem ou divergem, usando essas informações. Para isso, precisamos entender sobre raio de convergência e intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o raio de convergência ( R) da série original. Sabemos que a série converge para x = -4 e diverge para x = 6. O raio de convergência é a distância do centro da série (que é 0, já que temos x^n) até os extremos do intervalo onde a série converge.
A série converge em x = -4, então |-4| = 4 deve estar dentro do raio de convergência, ou seja, 4 <= R.
A série diverge em x = 6, então |6| = 6 está fora do raio de convergência, ou seja, R < 6.
Portanto, sabemos que:
4 <= R < 6

Passo 3

Com o raio de convergência entre 4 e 6, podemos determinar o intervalo de convergência da série. Sabendo que a série é centrada em 0, o intervalo de convergência é:
- R < x < R
Como 4 <= R < 6, o intervalo de convergência está entre -6 < x < 6, mas sabemos que em x = -4 a série converge e em x = 6 diverge. Portanto, o intervalo de convergência está no mínimo entre -4 e algo menor que 6.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma das séries:
a. sumn=0^infty cn
Aqui, substituímos x = 1, já que:
sumn=0^infty cn = sumn=0^infty cn cdot 1^n
Precisamos verificar se x = 1 está dentro do intervalo de convergência. Como 4 <= R < 6, e 1 < 4, então 1 está dentro do intervalo de convergência.
Portanto, a série converge.
b. sumn=0^infty cn 8^n
Aqui, temos x = 8. Precisamos verificar se 8 está dentro do intervalo de convergência.
Sabemos que R < 6, então 8 > R, e está fora do intervalo de convergência. Portanto, a série diverge.
c. sumn=0^infty cn(-3)^n
Aqui, x = -3. Vamos verificar se -3 está dentro do intervalo de convergência.
Como R >= 4, e |-3| = 3 < 4, então -3 está dentro do intervalo de convergência. Portanto, a série converge.
d. sumn=0^infty(-1)^n cn 9^n
Aqui, temos x = -9. Vamos verificar se -9 está dentro do intervalo de convergência.
Sabemos que R < 6, e |-9| = 9 > 6, então -9 está fora do intervalo de convergência. Portanto, a série diverge.

Resposta

a. Converge
b. Diverge
c. Converge
d. Diverge

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