Mostre que o raio de convergência da série de Maclaurin da função é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o raio de convergência da série de Maclaurin da função é . Isso significa que a série converge para todos os valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin e como determinar o raio de convergência usando o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em . Para a função , a série de Maclaurin é conhecida e é dada por:
Aqui, significa "fatorial de ", que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A fórmula do Teste da Razão é:
onde é o termo geral da série.
Passo 4
Vamos identificar na nossa série:
Então, .
Passo 5
Aplicando a fórmula do Teste da Razão:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite. À medida que cresce, também cresce sem limites. Então:
Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin da função é , ou seja, a série converge para todos os valores de .