Mostre que o raio de convergência da série de Maclaurin da função f(x) = e^x é R = infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o raio de convergência da série de Maclaurin da função é . Isso significa que a série converge para todos os valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin e como determinar o raio de convergência usando o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em . Para a função , a série de Maclaurin é conhecida e é dada por:
Aqui, significa "fatorial de ", que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A fórmula do Teste da Razão é:
onde é o termo geral da série.

Passo 4

Vamos identificar na nossa série:
Então, .

Passo 5

Aplicando a fórmula do Teste da Razão:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite. À medida que cresce, também cresce sem limites. Então:
Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin da função é , ou seja, a série converge para todos os valores de .

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