Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem da variável independente, nesse caso, . Para resolver, vamos usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é perfeito para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

O próximo passo é assumir uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Essa suposição funciona bem com as equações de Cauchy-Euler porque quando derivamos , termos de aparecem que combinam com os coeficientes da equação.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Como nunca é zero, podemos igualar o coeficiente a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação característica :
Aqui, temos raízes complexas conjugadas. Isso significa que a solução geral será composta por funções trigonométricas.

Passo 6

Quando as raízes são complexas , a solução geral é:
No nosso caso, e , então:

Resposta

A solução geral da equação é:
Além disso, as soluções e são fundamentais, ou seja, formam um conjunto de soluções linearmente independentes que abrangem todas as possíveis soluções da equação.

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onde .
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Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .