Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem da variável independente, nesse caso,
. Para resolver, vamos usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é perfeito para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é assumir uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Essa suposição funciona bem com as equações de Cauchy-Euler porque quando derivamos
, termos de
aparecem que combinam com os coeficientes da equação.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Como
nunca é zero, podemos igualar o coeficiente a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação característica
:
Aqui, temos raízes complexas conjugadas. Isso significa que a solução geral será composta por funções trigonométricas.
Passo 6
Quando as raízes são complexas
, a solução geral é:
No nosso caso,
e
, então:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Além disso, as soluções
e
são fundamentais, ou seja, formam um conjunto de soluções linearmente independentes que abrangem todas as possíveis soluções da equação.