Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes que dependem da variável independente, nesse caso, . Para resolver, vamos usar o método das equações de Cauchy-Euler, que é perfeito para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
No nosso caso, , e .
Passo 3
O próximo passo é assumir uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar. Essa suposição funciona bem com as equações de Cauchy-Euler porque quando derivamos , termos de aparecem que combinam com os coeficientes da equação.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Como nunca é zero, podemos igualar o coeficiente a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação característica :
Aqui, temos raízes complexas conjugadas. Isso significa que a solução geral será composta por funções trigonométricas.
Passo 6
Quando as raízes são complexas , a solução geral é:
No nosso caso, e , então:
Resposta
A solução geral da equação é:
Além disso, as soluções e são fundamentais, ou seja, formam um conjunto de soluções linearmente independentes que abrangem todas as possíveis soluções da equação.