Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica , admitindo e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura da superfície isolada de uma placa em diferentes tempos (6 minutos, 1 hora e 2 horas). Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a difusão térmica em materiais sólidos. Precisaremos entender a equação da difusão de calor e como aplicar as condições dadas para encontrar a temperatura em cada tempo solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a difusividade térmica, representada por α. Ela nos diz quão rápido o calor se propaga no material. No caso, α = . Quanto maior for α, mais rápido o calor se espalha.

Passo 3

A equação básica que descreve a difusão de calor em uma dimensão é:
Onde:
  • é a temperatura,
  • é o tempo,
  • é a posição na placa.

Passo 4

Como a placa tem espessura e a superfície é isolada, significa que não há fluxo de calor passando por essa face. Isso impõe uma condição de contorno onde a derivada da temperatura em relação a é zero nessa superfície.

Passo 5

A condição inicial dada é , que é a temperatura inicial da placa. Além disso, temos uma geração de calor interna , o que significa que há calor sendo produzido dentro da placa ao longo do tempo.

Passo 6

Para resolver essa equação com geração de calor, podemos usar a solução da equação de difusão com fonte interna. A solução geral para a temperatura em função do tempo e posição inclui termos exponenciais que dependem da difusividade térmica e do tempo.

Passo 7

Focando na superfície isolada, onde , e aplicando as condições de contorno e iniciais, encontramos que a temperatura na superfície se aproxima do equilíbrio térmico com o tempo. Calculamos isso avaliando a solução da equação de difusão para os tempos , e .

Passo 8

Convertendo os tempos para segundos:
  • 6 minutos = 360 segundos,
  • 1 hora = 3600 segundos,
  • 2 horas = 7200 segundos.

Passo 9

Usando a solução da equação de difusão com os valores dados, calculamos a temperatura da superfície para cada tempo. Isso envolve substituir os valores de , e na expressão da temperatura e resolver para em cada instante.

Resposta

As temperaturas da superfície isolada da placa nos tempos solicitados são aproximadamente:
  • t = 6 minutos:
  • t = 1 hora:
  • t = 2 horas:
Isso ocorre porque a placa está isolada e, com a geração de calor interna balanceando a difusão, a temperatura na superfície permanece constante ao longo do tempo.

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