Calcule a temperatura da superfície isolada em t=
e 2 h numa placa de espessura
, e difusividade térmica
, admitindo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a temperatura da superfície isolada de uma placa em diferentes tempos (6 minutos, 1 hora e 2 horas). Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente a difusão térmica em materiais sólidos. Precisaremos entender a equação da difusão de calor e como aplicar as condições dadas para encontrar a temperatura em cada tempo solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a difusividade térmica, representada por α. Ela nos diz quão rápido o calor se propaga no material. No caso, α =
. Quanto maior for α, mais rápido o calor se espalha.
Passo 3
A equação básica que descreve a difusão de calor em uma dimensão é:
Onde:
-
é a temperatura, -
é o tempo, -
é a posição na placa.
Passo 4
Como a placa tem espessura
e a superfície é isolada, significa que não há fluxo de calor passando por essa face. Isso impõe uma condição de contorno onde a derivada da temperatura em relação a
é zero nessa superfície.
Passo 5
A condição inicial dada é
, que é a temperatura inicial da placa. Além disso, temos uma geração de calor interna
, o que significa que há calor sendo produzido dentro da placa ao longo do tempo.
Passo 6
Para resolver essa equação com geração de calor, podemos usar a solução da equação de difusão com fonte interna. A solução geral para a temperatura em função do tempo e posição inclui termos exponenciais que dependem da difusividade térmica e do tempo.
Passo 7
Focando na superfície isolada, onde
, e aplicando as condições de contorno e iniciais, encontramos que a temperatura na superfície se aproxima do equilíbrio térmico com o tempo. Calculamos isso avaliando a solução da equação de difusão para os tempos
,
e
.
Passo 8
Convertendo os tempos para segundos:
- 6 minutos = 360 segundos,
- 1 hora = 3600 segundos,
- 2 horas = 7200 segundos.
Passo 9
Usando a solução da equação de difusão com os valores dados, calculamos a temperatura da superfície para cada tempo. Isso envolve substituir os valores de
,
e
na expressão da temperatura e resolver para
em cada instante.
Resposta
As temperaturas da superfície isolada da placa nos tempos solicitados são aproximadamente:
- t = 6 minutos:
- t = 1 hora:
- t = 2 horas:
Isso ocorre porque a placa está isolada e, com a geração de calor interna balanceando a difusão, a temperatura na superfície permanece constante ao longo do tempo.
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.
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onde
é o valor local do número de Nusselt na posição
, medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio
e local
.
Calcule a temperatura da superfície isolada em t=
e 2 h numa placa de espessura
, e difusividade térmica
.
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