Calcule o tempo característico para um gás escapar de um recipiente de 1 litro perfurado por um furo de 1 mm^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o tempo característico que um gás leva para escapar de um recipiente de 1 litro que tem um furo de 1 mm². Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos e leis dos gases. Precisaremos das fórmulas que relacionam a vazão de saída do gás e o volume do recipiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tempo característico. É basicamente o tempo estimado que o gás leva para sair completamente do recipiente através do furo. Para encontrar isso, precisamos calcular a vazão do gás, que é o volume que passa pelo furo por unidade de tempo.

Passo 3

A fórmula básica para a vazão Q = A times v é:
Onde:
  • é a área do furo
  • é a velocidade do gás saindo pelo furo

Passo 4

Vamos calcular a área 1 mm² = 1 times 10^-6 m² do furo primeiro. O diâmetro dado é de 1 mm², mas precisamos da área. Como já nos foi dada a área, ². Vamos converter para metros quadrados para facilitar os cálculos:
²²

Passo 5

Agora, precisamos determinar a velocidade v = raiz2 De do gás saindo pelo furo. Para isso, usamos a equação de Bernoulli simplificada para fluxo de saída:
Onde:
  • é a diferença de pressão entre o interior e o exterior do recipiente
  • é a densidade do gás

Passo 6

Assumindo que o recipiente está inicialmente a pressão atmosférica ( De) e o exterior está a vácuo ( rho = P times MR times T ), temos:
rho = 101325 times 0,0298,314 times 300 approx 1,18 kg/m³
Para a densidade do gás, vamos considerar que o gás é o ar a temperatura ambiente (aproximadamente ) e usando a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é a massa molar do ar ( )
  • é a constante dos gases ( )
  • é a temperatura em Kelvin
Calculando :
³

Passo 7

Agora, calculamos a velocidade v = raiz2 times 1013251,18 approx raiz171185,6 approx 414 m/s :

Passo 8

Com a velocidade, podemos achar a vazão Q = A times v = 1 times 10^-6 times 414 approx 4,14 times 10^-4 m³/s :
³

Passo 9

Finalmente, para encontrar o tempo característico t = VQ , usamos a relação entre o volume 1 litro = 1 times 10^-3 m³ do recipiente e a vazão t = 1 times 10^-34,14 times 10^-4 approx 2,42 segundos :
Convertendo 1 litro para metros cúbicos:
³
Então:

Resposta

O tempo característico para o gás escapar do recipiente é aproximadamente 2,42 segundos.

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