Calcule o tempo característico para um gás escapar de um recipiente de 1 litro perfurado por um furo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o tempo característico que um gás leva para escapar de um recipiente de 1 litro que tem um furo de 1 mm². Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos e leis dos gases. Precisaremos das fórmulas que relacionam a vazão de saída do gás e o volume do recipiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o tempo característico. É basicamente o tempo estimado que o gás leva para sair completamente do recipiente através do furo. Para encontrar isso, precisamos calcular a vazão do gás, que é o volume que passa pelo furo por unidade de tempo.
Passo 3
A fórmula básica para a vazão
é:
Onde:
-
é a área do furo -
é a velocidade do gás saindo pelo furo
Passo 4
Vamos calcular a área
do furo primeiro. O diâmetro dado é de 1 mm², mas precisamos da área. Como já nos foi dada a área,
. Vamos converter para metros quadrados para facilitar os cálculos:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a velocidade
do gás saindo pelo furo. Para isso, usamos a equação de Bernoulli simplificada para fluxo de saída:
Onde:
-
é a diferença de pressão entre o interior e o exterior do recipiente -
é a densidade do gás
Passo 6
Assumindo que o recipiente está inicialmente a pressão atmosférica (
) e o exterior está a vácuo (
), temos:
Para a densidade
do gás, vamos considerar que o gás é o ar a temperatura ambiente (aproximadamente
) e usando a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a massa molar do ar ( ) -
é a constante dos gases ( ) -
é a temperatura em Kelvin
Calculando
:
Passo 7
Agora, calculamos a velocidade
:
Passo 8
Com a velocidade, podemos achar a vazão
:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o tempo característico
, usamos a relação entre o volume
do recipiente e a vazão
:
Convertendo 1 litro para metros cúbicos:
Então:
Resposta
O tempo característico para o gás escapar do recipiente é aproximadamente 2,42 segundos.