onde
é a densidade do meio (massa por unidade de volume) e
é o coeficiente de dilatação volumétrica, uma medida da rigidez do meio. Mais precisamente, se imaginarmos aplicando um aumento na pressão
a um pedaço do material, e este aumento resulta em uma mudança (negativa) no volume
, então
é definido como a mudança de pressão dividida pela magnitude da mudança fracionária no volume
Esta definição ainda é ambígua, no entanto, porque não diz se a compressão deve ocorrer isotermicamente ou adiabaticamente (ou de alguma outra forma)
a-) Calcule
de um gás ideal, em termos de sua pressão P , para compressões isotérmicas e adiabáticas.
a-) Calcule
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o coeficiente de dilatação volumétrica,
, para um gás ideal em dois tipos de compressão: isotérmica e adiabática. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de
e como ela se relaciona com as propriedades do gás ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de
. É dado por:
Isso significa que
mede como a pressão muda quando o volume do gás muda. Para um gás ideal, vamos usar a lei dos gases ideais, que é:
onde
é a pressão,
o volume,
a quantidade de substância,
a constante dos gases e
a temperatura.
Passo 3
Vamos calcular
para a compressão isotérmica primeiro. Na compressão isotérmica, a temperatura
do gás permanece constante. Usando a lei dos gases ideais, se
é constante, então
. Diferenciando isso, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na definição de
:
Então, para compressão isotérmica, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para a compressão adiabática. Na compressão adiabática, não há transferência de calor, e a relação entre pressão e volume é dada por:
onde
é o índice adiabático.
Passo 6
Diferenciando a relação adiabática:
Simplificando, temos:
Passo 7
Substituindo
na definição de
, obtemos:
Portanto, para compressão adiabática, temos:
Resposta
Para um gás ideal, o coeficiente de dilatação volumétrica
em termos da pressão
é: