a-)Considere uma pequena porção (área A) da parede interna de um recipiente cheio de gás. Mostre que o número de moléculas que colidem com esta superfície em um intervalo de tempo é , onde P é a pressão, m é a massa molecular média, e é a velocidade média x dessas moléculas que colidem com a parede.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o número de moléculas que colidem com uma pequena área da parede interna de um recipiente cheio de gás em um intervalo de tempo é dado por:
Aqui, é a pressão, é a massa molecular média, e é a velocidade média na direção das moléculas que colidem com a parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão, movimento molecular e colisões em gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pressão é a força por unidade de área que as moléculas exercem ao bater na parede. A fórmula básica da pressão é:
Onde é a força e é a área. Mas, como queremos relacionar a pressão com o número de colisões, precisamos conectar isso com o movimento das moléculas.

Passo 3

Considere uma molécula que está se movendo na direção com velocidade . Quando ela bate na parede, ela troca momentum. O momentum é dado por , onde é a massa e é a velocidade.
Ao colidir e rebater, a mudança no momentum da molécula é:
Multiplicamos por 2 porque a velocidade muda de para , resultando em uma mudança total de .

Passo 4

Agora, a força exercida pela colisão das moléculas na parede é a taxa de mudança de momentum. Se for o número de moléculas que colidem na área em tempo , então:

Passo 5

Sabemos que pressão é força por unidade de área . Substituindo na equação:

Passo 6

Agora, para encontrar o número de colisões , basta rearranjar a equação:

Resposta

O número de moléculas que colidem com a área da parede em um intervalo de tempo é:

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