Calcule o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento
e massa m , colocada no eixo x , sendo que uma de sua extremidade está na origem. Repita o cálculo para o caso que a origem coincida com o centro de massa da barra. Resp: a)
, lyy=Izz=1/3 ML
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de uma haste fina e uniforme de comprimento
e massa
, posicionada no eixo x, com uma extremidade na origem. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Corpos Rígidos, especificamente o conceito de tensor de inércia. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular os componentes do tensor de inércia para objetos com simetria simples, como uma haste fina.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o tensor de inércia. Ele basicamente descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para uma haste fina ao longo do eixo x, os componentes do tensor de inércia (
,
,
, etc.) vão depender de como a massa está distribuída em relação a cada eixo.
Passo 3
Como a haste está totalmente alinhada com o eixo x e é fina, praticamente toda a massa está distribuída ao longo desse eixo. Isso significa que, em relação ao próprio eixo x, a inércia rotacional é zero porque não há distribuição de massa perpendicular a ele. Então, já sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular os componentes
e
. Para uma haste fina, esses componentes são iguais devido à simetria do problema. A fórmula geral para o tensor de inércia de uma haste fina ao longo do eixo x é:
onde
é a distância da massa
ao eixo de rotação (no caso, os eixos y e z).
Passo 5
Como a haste é uniforme, a densidade linear de massa
é:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 6
A distância
em relação aos eixos y e z é simplesmente a coordenada x, já que a haste está ao longo do eixo x. Portanto, substituindo na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Resposta
a)
,
Exercícios relacionados
Uma carga puntiforme, de
, está no centro de uma esfera imaginária que tem raio igual a
. (a) Determine a área da superfície da esfera. (b) Determine a magnitude do camop elétrico em todos os pontos da superfície da esfera. © Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície da esfera?
Um manômetro em
contém mercúrio (densidade
) e é usado para medir a pressão de um gás em um tanque. Uma das extremidades do tubo está ligada ao tanque, enquanto a outra é aberta para a atmosfera. Se a diferença nos níveis de mercúrio dos dois lados do tubo é de 15 cm , qual é a pressão manométrica do gás no tanque? Expresse sua resposta em Pa .
Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos (
.
Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação
. Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.: