Calcule o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento L e massa m , colocada no eixo x , sendo que uma de sua extremidade está na origem. Repita o cálculo para o caso que a origem coincida com o centro de massa da barra. Resp: a) mid x x=0, lyy=Izz=1/3 ML

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o tensor de inércia de uma haste fina e uniforme de comprimento L e massa m, posicionada no eixo x, com uma extremidade na origem. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Corpos Rígidos, especificamente o conceito de tensor de inércia. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular os componentes do tensor de inércia para objetos com simetria simples, como uma haste fina.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tensor de inércia. Ele basicamente descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos eixos de rotação. Para uma haste fina ao longo do eixo x, os componentes do tensor de inércia ( Ixx, Iyy, Izz, etc.) vão depender de como a massa está distribuída em relação a cada eixo.

Passo 3

Como a haste está totalmente alinhada com o eixo x e é fina, praticamente toda a massa está distribuída ao longo desse eixo. Isso significa que, em relação ao próprio eixo x, a inércia rotacional é zero porque não há distribuição de massa perpendicular a ele. Então, já sabemos que:
Ixx = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular os componentes Iyy e Izz. Para uma haste fina, esses componentes são iguais devido à simetria do problema. A fórmula geral para o tensor de inércia de uma haste fina ao longo do eixo x é:
Iyy = Izz = integral r^2 , dm
onde r é a distância da massa dm ao eixo de rotação (no caso, os eixos y e z).

Passo 5

Como a haste é uniforme, a densidade linear de massa lambda é:
lambda = mL
Então, podemos reescrever dm como:
dm = lambda , dx = mL , dx

Passo 6

A distância r em relação aos eixos y e z é simplesmente a coordenada x, já que a haste está ao longo do eixo x. Portanto, substituindo na integral:
Iyy = Izz = integral0^L x^2 cdot mL , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Iyy = Izz = mL integral0^L x^2 , dx = mL [ x^33 ]0^L = mL cdot L^33 = mL^23

Resposta

a) Ixx = 0, Iyy = Izz = dfrac13 mL^2

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