Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos (
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três massas iguais, cada uma de massa
, posicionadas nos pontos
,
e
. A gente precisa calcular o tensor de inércia em relação aos eixos
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular os componentes do tensor de inércia para cada massa e depois somar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os componentes principais do tensor são:
Além disso, os componentes fora da diagonal são:
Essas fórmulas nos dizem como calcular cada parte do tensor de inércia com base nas coordenadas das massas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas para cada uma das três massas.
-
Primeira massa em
: -
, ,
-
-
Segunda massa em
: -
, ,
-
-
Terceira massa em
: -
, ,
-
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora,
:
Passo 6
Em seguida,
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os componentes fora da diagonal. Primeiro,
:
Passo 8
Depois,
:
Passo 9
Finalmente,
:
Resposta
O tensor de inércia em relação aos eixos
é: