Três massas m são colocadas nas posições (0, O, O),(L, O, O) e (0, L, O). Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos ( x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três massas iguais, cada uma de massa m, posicionadas nos pontos (0, 0, 0), (L, 0, 0) e (0, L, 0). A gente precisa calcular o tensor de inércia em relação aos eixos x, y e z. Para isso, vamos precisar entender como calcular os componentes do tensor de inércia para cada massa e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os componentes principais do tensor são:
Ixx = sum mi (yi^2 + zi^2)
Iyy = sum mi (xi^2 + zi^2)
Izz = sum mi (xi^2 + yi^2)
Além disso, os componentes fora da diagonal são:
Ixy = Iyx = -sum mi xi yi
Ixz = Izx = -sum mi xi zi
Iyz = Izy = -sum mi yi zi
Essas fórmulas nos dizem como calcular cada parte do tensor de inércia com base nas coordenadas das massas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas para cada uma das três massas.
  1. Primeira massa em (0, 0, 0):
    • x = 0, y = 0, z = 0
  2. Segunda massa em (L, 0, 0):
    • x = L, y = 0, z = 0
  3. Terceira massa em (0, L, 0):
    • x = 0, y = L, z = 0

Passo 4

Vamos calcular Ixx:
Ixx = m(0^2 + 0^2) + m(L^2 + 0^2) + m(0^2 + 0^2) = m(0) + mL^2 + m(0) = mL^2

Passo 5

Agora, Iyy:
Iyy = m(0^2 + 0^2) + m(L^2 + 0^2) + m(0^2 + 0^2) = m(0) + mL^2 + m(0) = mL^2

Passo 6

Em seguida, Izz:
Izz = m(0^2 + 0^2) + m(L^2 + 0^2) + m(0^2 + L^2) = m(0) + mL^2 + mL^2 = 2mL^2

Passo 7

Agora, vamos calcular os componentes fora da diagonal. Primeiro, Ixy:
Ixy = -[m(0 cdot 0) + m(L cdot 0) + m(0 cdot L)] = -[0 + 0 + 0] = 0

Passo 8

Depois, Ixz:
Ixz = -[m(0 cdot 0) + m(L cdot 0) + m(0 cdot 0)] = -[0 + 0 + 0] = 0

Passo 9

Finalmente, Iyz:
Iyz = -[m(0 cdot 0) + m(0 cdot 0) + m(L cdot 0)] = -[0 + 0 + 0] = 0

Resposta

O tensor de inércia em relação aos eixos (x, y, z) é:
I = mL^2 & 0 & 0 0 & mL^2 & 0 0 & 0 & 2mL^2

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