Três massas são colocadas nas posições e . Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos ( .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três massas iguais, cada uma de massa , posicionadas nos pontos , e . A gente precisa calcular o tensor de inércia em relação aos eixos , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular os componentes do tensor de inércia para cada massa e depois somar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os componentes principais do tensor são:
Além disso, os componentes fora da diagonal são:
Essas fórmulas nos dizem como calcular cada parte do tensor de inércia com base nas coordenadas das massas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas fórmulas para cada uma das três massas.
Primeira massa em :
, ,
Segunda massa em :
, ,
Terceira massa em :
, ,
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, :
Passo 6
Em seguida, :
Passo 7
Agora, vamos calcular os componentes fora da diagonal. Primeiro, :