Três massas são colocadas nas posições e . Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos ( .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três massas iguais, cada uma de massa , posicionadas nos pontos , e . A gente precisa calcular o tensor de inércia em relação aos eixos , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular os componentes do tensor de inércia para cada massa e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os componentes principais do tensor são:
Além disso, os componentes fora da diagonal são:
Essas fórmulas nos dizem como calcular cada parte do tensor de inércia com base nas coordenadas das massas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas para cada uma das três massas.
  1. Primeira massa em :
    • , ,
  2. Segunda massa em :
    • , ,
  3. Terceira massa em :
    • , ,

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, :

Passo 6

Em seguida, :

Passo 7

Agora, vamos calcular os componentes fora da diagonal. Primeiro, :

Passo 8

Depois, :

Passo 9

Finalmente, :

Resposta

O tensor de inércia em relação aos eixos é:

Exercícios relacionados

Calcule o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento e massa m , colocada no eixo x , sendo que uma de sua extremidade está na origem. Repita o cálculo para o caso que a origem coincida com o centro de massa da barra. Resp: a) , lyy=Izz=1/3 ML
Uma carga puntiforme, de , está no centro de uma esfera imaginária que tem raio igual a . (a) Determine a área da superfície da esfera. (b) Determine a magnitude do camop elétrico em todos os pontos da superfície da esfera. © Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície da esfera?
Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação . Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia . Lembre que a energia cinética da polia é . Resp.: .