Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação . Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa que está se movendo em um plano inclinado sem atrito, com um ângulo de inclinação . A gente vai usar a Mecânica de Lagrange para resolver isso. Basicamente, vamos precisar definir o Lagrangeano, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema, e depois usar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração da massa ao longo da inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa coordenada generalizada. Como a massa se move ao longo do plano inclinado, podemos escolher a posição ao longo desse plano como a coordenada .
Agora, vamos calcular a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) da massa.
  • Energia Cinética ( ): É a energia de movimento da massa. Como a massa está se movendo ao longo do plano, a energia cinética é dada por:
    onde é a velocidade da massa.
  • Energia Potencial ( ): É a energia devido à posição da massa no campo gravitacional. A altura da massa em relação à base do plano inclinado é:
    Portanto, a energia potencial é:

Passo 3

Com as energias cinética e potencial calculadas, podemos escrever o Lagrangeano ( ):
Agora, usamos a Equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação de Lagrange:

Passo 4

Agora, resolvemos para a aceleração :
O sinal negativo indica que a aceleração está direcionada para baixo ao longo do plano inclinado.

Resposta

A aceleração ao longo da inclinação é:

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