Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação
. Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa
que está se movendo em um plano inclinado sem atrito, com um ângulo de inclinação
. A gente vai usar a Mecânica de Lagrange para resolver isso. Basicamente, vamos precisar definir o Lagrangeano, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema, e depois usar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração da massa ao longo da inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa coordenada generalizada. Como a massa se move ao longo do plano inclinado, podemos escolher a posição ao longo desse plano como a coordenada
.
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) e a energia potencial (
) da massa.
-
Energia Cinética (
): É a energia de movimento da massa. Como a massa está se movendo ao longo do plano, a energia cinética é dada por: ondeé a velocidade da massa. -
Energia Potencial (
): É a energia devido à posição da massa no campo gravitacional. A altura da massa em relação à base do plano inclinado é: Portanto, a energia potencial é:
Passo 3
Com as energias cinética e potencial calculadas, podemos escrever o Lagrangeano (
):
Agora, usamos a Equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação de Lagrange:
Passo 4
Agora, resolvemos para a aceleração
:
O sinal negativo indica que a aceleração está direcionada para baixo ao longo do plano inclinado.
Resposta
A aceleração ao longo da inclinação é: