Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação
. Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa
que está se movendo em um plano inclinado sem atrito, com um ângulo de inclinação
. A gente vai usar a Mecânica de Lagrange para resolver isso. Basicamente, vamos precisar definir o Lagrangeano, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema, e depois usar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração da massa ao longo da inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa coordenada generalizada. Como a massa se move ao longo do plano inclinado, podemos escolher a posição ao longo desse plano como a coordenada
.
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) e a energia potencial (
) da massa.
-
Energia Cinética (
): É a energia de movimento da massa. Como a massa está se movendo ao longo do plano, a energia cinética é dada por: ondeé a velocidade da massa. -
Energia Potencial (
): É a energia devido à posição da massa no campo gravitacional. A altura da massa em relação à base do plano inclinado é: Portanto, a energia potencial é:
Passo 3
Com as energias cinética e potencial calculadas, podemos escrever o Lagrangeano (
):
Agora, usamos a Equação de Lagrange para encontrar a equação de movimento:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação de Lagrange:
Passo 4
Agora, resolvemos para a aceleração
:
O sinal negativo indica que a aceleração está direcionada para baixo ao longo do plano inclinado.
Resposta
A aceleração ao longo da inclinação é:
Exercícios relacionados
Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos (
.
Calcule o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento
e massa m , colocada no eixo x , sendo que uma de sua extremidade está na origem. Repita o cálculo para o caso que a origem coincida com o centro de massa da barra. Resp: a)
, lyy=Izz=1/3 ML
Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia
. Lembre que a energia cinética da polia é
. Resp.:
.
Uma carga negativa
está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio
. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva
, localizada
(a) a uma distância do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).
(a) a uma distância
(b) a uma distância