Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Série de Taylor da função
em torno de
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série infinita de potências de
, usando as técnicas de cálculo que aprendemos sobre séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma ajeitada na função pra deixá-la parecida com uma forma que já conhecemos para expandir. A função é:
Podemos fatorar o denominador:
Agora, a gente tem algo parecido com
, que sabemos que pode ser expandido em uma série geométrica.
Passo 3
Lembrando que a Série Geométrica é:
Mas, no nosso caso, temos
, que é igual a
. Então, podemos identificar
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula da série geométrica, temos:
Agora, lembrando que multiplicamos isso por
, a Série de Taylor da nossa função fica:
Resposta
A Série de Taylor de
em torno de
é:
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Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto
.
Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve
.
Fazendo a mudança de variável
e supondo que
tem uma série de Taylor em potências em
, encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de
. Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que
é dado por uma série de Taylor em potências de
e expressando o coeficiente
em potências de
.