Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto x_0.
x/(9+x^2), x_0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Série de Taylor da função em torno de . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série infinita de potências de , usando as técnicas de cálculo que aprendemos sobre séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma ajeitada na função pra deixá-la parecida com uma forma que já conhecemos para expandir. A função é:
Podemos fatorar o denominador:
Agora, a gente tem algo parecido com , que sabemos que pode ser expandido em uma série geométrica.

Passo 3

Lembrando que a Série Geométrica é:
Mas, no nosso caso, temos , que é igual a . Então, podemos identificar .

Passo 4

Substituindo na fórmula da série geométrica, temos:
Agora, lembrando que multiplicamos isso por , a Série de Taylor da nossa função fica:

Resposta

A Série de Taylor de em torno de é:

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