Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a Série de Taylor da função em torno de . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série infinita de potências de , usando as técnicas de cálculo que aprendemos sobre séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma ajeitada na função pra deixá-la parecida com uma forma que já conhecemos para expandir. A função é:
Podemos fatorar o denominador:
Agora, a gente tem algo parecido com , que sabemos que pode ser expandido em uma série geométrica.

Passo 3

Lembrando que a Série Geométrica é:
Mas, no nosso caso, temos , que é igual a . Então, podemos identificar .

Passo 4

Substituindo na fórmula da série geométrica, temos:
Agora, lembrando que multiplicamos isso por , a Série de Taylor da nossa função fica:

Resposta

A Série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .
Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .
Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve .
Fazendo a mudança de variável e supondo que tem uma série de Taylor em potências em , encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de . Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que é dado por uma série de Taylor em potências de e expressando o coeficiente em potências de .