Calcule d/y d/x em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: y^3 + x^2 * y + x^2 + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular para a função que está definida de forma implícita pela equação . Isso significa que não está isolado, então vamos usar a diferenciação implícita, uma técnica que nos ajuda a encontrar a derivada mesmo quando está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem dependendo de , ao diferenciar em relação a , precisamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de em relação a é .
Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Termo :
    Aqui, usamos a Regra do Poder e a Regra da Cadeia.
  2. Termo :
    Aqui, usamos a Regra do Produto, já que temos um produto de e .
  3. Termo :
    Simples derivada usando a Regra do Poder.
  4. Termo constante :
    A derivada de uma constante é zero.
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que possuem de um lado e os demais do outro:
Aqui, fatoramos e movemos os termos sem derivada para o outro lado da equação.

Passo 4

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

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