Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .

Passo 1

Beleza, vamos calcular para a função que está definida de forma implícita pela equação . Isso significa que não está isolado, então vamos usar a diferenciação implícita, uma técnica que nos ajuda a encontrar a derivada mesmo quando está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem dependendo de , ao diferenciar em relação a , precisamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de em relação a é .
Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Termo :
    Aqui, usamos a Regra do Poder e a Regra da Cadeia.
  2. Termo :
    Aqui, usamos a Regra do Produto, já que temos um produto de e .
  3. Termo :
    Simples derivada usando a Regra do Poder.
  4. Termo constante :
    A derivada de uma constante é zero.
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que possuem de um lado e os demais do outro:
Aqui, fatoramos e movemos os termos sem derivada para o outro lado da equação.

Passo 4

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

Exercícios relacionados

A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se , onde denota a função posição em relação ao tempo e a força com respeito a posição e o tempo .
A equação com , é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes tais que a função satisfaça essa equação.
Calcule .
Considere
(a) Esboce o gráfico de .
(b) Verifique se é contínua em 1.
© Verifique se é derivável em 1.
Respostas: (b) é contínua em 1 © não é diferenciável em 1 (limites laterais 1 e 2)
Calcule .
.