Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular
para a função
que está definida de forma implícita pela equação
. Isso significa que
não está isolado, então vamos usar a diferenciação implícita, uma técnica que nos ajuda a encontrar a derivada mesmo quando
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que quando a gente tem
dependendo de
, ao diferenciar em relação a
, precisamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de
em relação a
é
.
Vamos diferenciar termo a termo:
-
Termo
: Aqui, usamos a Regra do Poder e a Regra da Cadeia. -
Termo
: Aqui, usamos a Regra do Produto, já que temos um produto dee . -
Termo
: Simples derivada usando a Regra do Poder. -
Termo constante
: A derivada de uma constante é zero.
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos reunir os termos que possuem
de um lado e os demais do outro:
Aqui, fatoramos
e movemos os termos sem derivada para o outro lado da equação.
Passo 4
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Exercícios relacionados
A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se
, onde
denota a função posição em relação ao tempo e
a força com respeito a posição
e o tempo
.
A equação com
, é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes
tais que a função
satisfaça essa equação.
A equação
Calcule
.
Considere
(a) Esboce o gráfico de
.
(b) Verifique se é contínua em 1.
© Verifique se é derivável em 1.
Respostas: (b) é contínua em 1 ©
não é diferenciável em 1 (limites laterais 1 e 2)
(b) Verifique se
© Verifique se
Respostas: (b)
Calcule
.
.