Considere
(a) Esboce o gráfico de .
(b) Verifique se é contínua em 1.
© Verifique se é derivável em 1.
Respostas: (b) é contínua em 1 © não é diferenciável em 1 (limites laterais 1 e 2)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Temos uma função definida por partes:
Precisamos:
a) Esboçar o gráfico dessa função.
b) Verificar se é contínua em .
c) Verificar se é derivável em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes, limites, continuidade e derivadas.

Passo 2

Parte a) Esboçar o gráfico de .
Primeiro, vamos entender cada parte da função:
  • Para , , que é uma parábola.
  • Para , , que é uma reta.
Vamos esboçar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 3

Gráfico para :
A função é uma parábola com concavidade para cima e vértice no ponto mínimo. Vamos calcular alguns pontos:
  • Quando :
  • Quando : (mas nesse ponto a definição muda)
Plotando esses pontos e lembrando que a parábola continua para , temos a parte esquerda do gráfico.

Passo 4

Gráfico para :
A função é uma reta que passa pelo ponto :
  • Quando :
  • Quando :
Plotando esses pontos, temos a parte direita do gráfico.

Passo 5

Unindo as partes:
Ambas as funções se encontram no ponto com valor , o que sugere que o gráfico será contínuo nesse ponto. Desenhe a parábola para até e a reta a partir de para cima, garantindo que se conectem no ponto .

Passo 6

Parte b) Verificar se é contínua em 1.
Para verificar a continuidade em , precisamos que:
Vamos calcular esses limites.

Passo 7

Calculando :
Para , . Então:

Passo 8

Calculando :
Para , . Então:

Passo 9

Verificando :
Pela definição da função, para :

Passo 10

Conclusão sobre a continuidade:
Como:
Portanto, é contínua em .

Passo 11

Parte c) Verificar se é derivável em 1.
Para ser derivável em , os limites das derivadas laterais devem ser iguais. Vamos calcular as derivadas de cada parte da função e verificar os limites.

Passo 12

Calculando a derivada para :
Para :
Então:

Passo 13

Calculando a derivada para :
Para :
Então:

Passo 14

Conclusão sobre a derivabilidade:
Como:
As derivadas laterais não são iguais, portanto, não é derivável em .

Resposta

(b) é contínua em .
© não é diferenciável em .

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Calcule .
.
Calcule .
.