Considere
(a) Esboce o gráfico de
.
(b) Verifique se
é contínua em 1.
© Verifique se
é derivável em 1.
Respostas: (b)
é contínua em 1 ©
não é diferenciável em 1 (limites laterais 1 e 2)
(b) Verifique se
© Verifique se
Respostas: (b)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Temos uma função
definida por partes:
Precisamos:
a) Esboçar o gráfico dessa função.
b) Verificar se
é contínua em
.
c) Verificar se
é derivável em
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes, limites, continuidade e derivadas.
Passo 2
Parte a) Esboçar o gráfico de
.
Primeiro, vamos entender cada parte da função:
- Para
, , que é uma parábola. - Para
, , que é uma reta.
Vamos esboçar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Gráfico para
:
A função
é uma parábola com concavidade para cima e vértice no ponto mínimo. Vamos calcular alguns pontos:
- Quando
: - Quando
: (mas nesse ponto a definição muda)
Plotando esses pontos e lembrando que a parábola continua para
, temos a parte esquerda do gráfico.
Passo 4
Gráfico para
:
A função
é uma reta que passa pelo ponto
:
- Quando
: - Quando
:
Plotando esses pontos, temos a parte direita do gráfico.
Passo 5
Unindo as partes:
Ambas as funções se encontram no ponto
com valor
, o que sugere que o gráfico será contínuo nesse ponto. Desenhe a parábola para
até
e a reta a partir de
para cima, garantindo que se conectem no ponto
.
Passo 6
Parte b) Verificar se
é contínua em 1.
Para verificar a continuidade em
, precisamos que:
Vamos calcular esses limites.
Passo 7
Calculando
:
Para
,
. Então:
Passo 8
Calculando
:
Para
,
. Então:
Passo 9
Verificando
:
Pela definição da função, para
:
Passo 10
Conclusão sobre a continuidade:
Como:
Portanto,
é contínua em
.
Passo 11
Parte c) Verificar se
é derivável em 1.
Para
ser derivável em
, os limites das derivadas laterais devem ser iguais. Vamos calcular as derivadas de cada parte da função e verificar os limites.
Passo 12
Calculando a derivada para
:
Para
:
Então:
Passo 13
Calculando a derivada para
:
Para
:
Então:
Passo 14
Conclusão sobre a derivabilidade:
Como:
As derivadas laterais não são iguais, portanto,
não é derivável em
.
Resposta
(b)
é contínua em
.
© não é diferenciável em
.
©
Exercícios relacionados
Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se
, onde
denota a função posição em relação ao tempo e
a força com respeito a posição
e o tempo
.
A equação com
, é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes
tais que a função
satisfaça essa equação.
A equação
Calcule
.
.
Calcule
.
.