Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, mais especificamente de diferenciação implícita. A questão pede para calcular
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável definida pela equação implícita
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. A equação original é:
Ao diferenciar cada termo em relação a
, a gente trata
como uma função de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos diferenciar o termo
em relação a
. Usamos a regra da cadeia aqui:
A regra da cadeia nos diz que você diferencia a função de fora (
) multiplicada pela derivada da função de dentro (
).
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o termo
em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 5
A derivada do lado direito da equação
em relação a
é:
Isso porque a derivada de
em relação a si mesmo é 1.
Passo 6
Agora, juntando tudo que diferenciamos:
Isso vem de substituir as derivadas que calculamos nos lugares correspondentes na equação diferenciada.
Passo 7
Vamos fatorar
da equação:
Facilitando a resolução para
.
Passo 8
Para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é:
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
.
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
е
.
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
.