Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, mais especificamente de diferenciação implícita. A questão pede para calcular em termos de e , onde é uma função diferenciável definida pela equação implícita . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . A equação original é:
Ao diferenciar cada termo em relação a , a gente trata como uma função de , ou seja, .

Passo 3

Vamos diferenciar o termo em relação a . Usamos a regra da cadeia aqui:
A regra da cadeia nos diz que você diferencia a função de fora ( ) multiplicada pela derivada da função de dentro ( ).

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o termo em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 5

A derivada do lado direito da equação em relação a é:
Isso porque a derivada de em relação a si mesmo é 1.

Passo 6

Agora, juntando tudo que diferenciamos:
Isso vem de substituir as derivadas que calculamos nos lugares correspondentes na equação diferenciada.

Passo 7

Vamos fatorar da equação:
Facilitando a resolução para .

Passo 8

Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada em termos de e é:

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Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. е .
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .