Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
е
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre conjuntos e como eles se relacionam entre si. A gente vai trabalhar com a ideia de subconjuntos, que é quando todos os elementos de um conjunto estão dentro de outro. Precisamos entender o que cada parte do teorema está dizendo e como provar que, se um conjunto está dentro de outro e esse outro está dentro de um terceiro, então o primeiro também está dentro do terceiro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema.
-
Hipótese:
e Isso significa que todo elemento de A está em B, e todo elemento de B está em C. -
Tese:A conclusão que queremos provar é que todo elemento de A está também em C.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
e
, então
.
-
Definição de Subconjunto: Quando dizemos que
, significa que se pegarmos qualquer elemento de A, esse também pertence a B. Ou seja, . -
Aplicando as Hipóteses:
- Sabemos que
, então para qualquer , temos . - Também sabemos que
, então para qualquer , temos .
- Sabemos que
-
Conclusão:
- Pegando qualquer
: - Como
e , então . - Como
e , então .
- Como
- Portanto, todo
também está em C, ou seja, .
- Pegando qualquer
Resposta
Assim, provamos que se
e
, então necessariamente
.
Exercícios relacionados
Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Calcule
.
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
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Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
e