Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. е .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre conjuntos e como eles se relacionam entre si. A gente vai trabalhar com a ideia de subconjuntos, que é quando todos os elementos de um conjunto estão dentro de outro. Precisamos entender o que cada parte do teorema está dizendo e como provar que, se um conjunto está dentro de outro e esse outro está dentro de um terceiro, então o primeiro também está dentro do terceiro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a hipótese e a tese do teorema.
  • Hipótese: e
    Isso significa que todo elemento de A está em B, e todo elemento de B está em C.
  • Tese:
    A conclusão que queremos provar é que todo elemento de A está também em C.

Passo 3

Agora, vamos provar que se e , então .
  1. Definição de Subconjunto: Quando dizemos que , significa que se pegarmos qualquer elemento de A, esse também pertence a B. Ou seja, .
  2. Aplicando as Hipóteses:
    • Sabemos que , então para qualquer , temos .
    • Também sabemos que , então para qualquer , temos .
  3. Conclusão:
    • Pegando qualquer :
      • Como e , então .
      • Como e , então .
    • Portanto, todo também está em C, ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que se e , então necessariamente .

Exercícios relacionados

Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .
Calcule .
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. .
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema. e