Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as derivadas parciais da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente deriva a função em relação a uma variável de cada vez, tratando as outras como constantes. Vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do poder, a regra do quociente e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos , e como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • O primeiro termo não depende de , então a derivada é 0.
  • O segundo termo : aplicamos a regra do poder.
  • O terceiro termo : podemos reescrever como e aplicar a regra do poder.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • O primeiro termo : aplicamos a regra do poder.
  • O segundo termo não depende de , então a derivada é 0.
  • O terceiro termo : aplicamos a regra do poder.
Então:

Passo 4

Vamos seguir para a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • O primeiro termo : aplicamos a regra do poder.
  • O segundo termo : reescrevemos como e aplicamos a regra do poder.
  • O terceiro termo : aplicamos a regra do poder.
Então:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • O primeiro termo não depende de , então a derivada é 0.
  • O segundo termo : aplicamos a regra do poder.
  • O terceiro termo : aplicamos a regra do poder.
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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