Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as derivadas parciais da função
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente deriva a função em relação a uma variável de cada vez, tratando as outras como constantes. Vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do poder, a regra do quociente e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
,
e
como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo:
- O primeiro termo
não depende de , então a derivada é 0. - O segundo termo
: aplicamos a regra do poder. - O terceiro termo
: podemos reescrever como e aplicar a regra do poder.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
- O primeiro termo
: aplicamos a regra do poder. - O segundo termo
não depende de , então a derivada é 0. - O terceiro termo
: aplicamos a regra do poder.
Então:
Passo 4
Vamos seguir para a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
- O primeiro termo
: aplicamos a regra do poder. - O segundo termo
: reescrevemos como e aplicamos a regra do poder. - O terceiro termo
: aplicamos a regra do poder.
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Derivando termo a termo:
- O primeiro termo
não depende de , então a derivada é 0. - O segundo termo
: aplicamos a regra do poder. - O terceiro termo
: aplicamos a regra do poder.
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função são: