Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais da função . Isso significa que vamos encontrar as derivadas em relação a cada uma das variáveis: , e . Para isso, vamos usar algumas regras básicas de derivação, como a derivada de funções logarítmicas, a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Primeiro, vamos derivar cada termo da função separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
    A derivada de em relação a é , e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a .
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra do quociente: , onde e .
    Então:
  3. Derivada de em relação a :
    Podemos reescrever como . Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos somar as derivadas dos três termos para obter :

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Novamente, derivamos cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
    Similar à derivada em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, depende de apenas no numerador.
  3. Derivada de em relação a :
    Similar à derivada em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter :

Passo 6

Vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Derivamos cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
    Este termo não depende de , então a derivada é zero:
  2. Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do quociente novamente, onde e .
    Então:
    Simplificando:
  3. Derivada de em relação a :
    Novamente, usando a regra da cadeia:

Passo 7

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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