Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais da função
. Isso significa que vamos encontrar as derivadas em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de derivação, como a derivada de funções logarítmicas, a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, vamos derivar cada termo da função separadamente:
-
Derivada de
em relação a :
A derivada deem relação a é , e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a . -
Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra do quociente:, onde e . Então: -
Derivada de
em relação a :
Podemos reescrevercomo . Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos somar as derivadas dos três termos para obter
:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Novamente, derivamos cada termo separadamente:
-
Derivada de
em relação a :
Similar à derivada em relação a: -
Derivada de
em relação a :
Aqui,depende de apenas no numerador. -
Derivada de
em relação a :
Similar à derivada em relação a:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter
:
Passo 6
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Derivamos cada termo:
-
Derivada de
em relação a :
Este termo não depende de, então a derivada é zero: -
Derivada de
em relação a :
Usamos a regra do quociente novamente, ondee . Então:Simplificando: -
Derivada de
em relação a :
Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 7
Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
k)
k)
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
h)
h)
Para determinar a distância
sobre uma pequena enseada, um ponto
é colocado sobre a costa, de jeito que as seguintes medidas são registradas:
Use a lei dos cossenos para calcular a distância pedida.
O volume molar
de um gás ideal é dado pela fórmula
onde
é a temperatura,
a pressão e
uma constante. Ache uma expressão para
e para
.