Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. A gente vai precisar aplicar a regra do produto e lembrar como derivar funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é o produto de duas funções de
:
e
. Então, usamos a regra do produto:
Agora, derivamos cada parte:
-
(já que é constante em relação a ). -
(usando a regra da cadeia, já que a derivada de em relação a é ).
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usando a regra do produto:
Derivando cada parte:
-
(a derivada de é multiplicado por -1). -
(novamente, regra da cadeia, já que a derivada de em relação a é ).
Substituindo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: