Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
g) z = cos(x^2 * y) + sen(x^2) + 3 * y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisamos encontrar todas as derivadas parciais dela. Isso significa que vamos calcular e . Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem três termos:
Vamos derivar cada termo em relação a :
  • Para : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, , então .
  • Para : Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , então .
  • Para : Esse termo não depende de , então a derivada em relação a é zero.
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, vamos derivar cada termo da função em relação a :
  • Para : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e aqui . Então, .
  • Para : Esse termo não depende de , então a derivada em relação a é zero.
  • Para : A derivada de em relação a é .
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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