Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisamos encontrar todas as derivadas parciais dela. Isso significa que vamos calcular
e
. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem três termos:
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Para
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, , então . -
Para
: Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e , então . -
Para
: Esse termo não depende de , então a derivada em relação a é zero.
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, vamos derivar cada termo da função
em relação a
:
-
Para
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e aqui . Então, . -
Para
: Esse termo não depende de , então a derivada em relação a é zero. -
Para
: A derivada de em relação a é .
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função são: