Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
e)

Passo 1

Beleza, temos que calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial multivariável, onde aprendemos a encontrar como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. Vamos precisar usar as regras básicas de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante, porque queremos ver como muda quando apenas varia.

Passo 3

Para derivar em relação a , percebemos que é uma constante em relação a . Então, usamos a regra do poder:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante, pois queremos ver como muda quando apenas varia.

Passo 5

Para derivar em relação a , usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos reescrever a função para facilitar:
Agora, aplicamos a regra da potência:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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i)