Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como calcular derivadas em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando calculamos uma derivada parcial em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

A função é uma fração, então vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 8

Aplicando novamente a regra do quociente:
Onde e .

Passo 9

Substituindo na fórmula:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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