Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
i)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e entender como calcular derivadas em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando calculamos uma derivada parcial em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função é uma fração, então vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Substituindo na regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 8
Aplicando novamente a regra do quociente:
Onde
e
.
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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g)
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e)
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b)
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d)
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