Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais da função
. Isso significa que precisamos encontrar como
muda em relação a
e em relação a
de forma separada. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é uma ferramenta do cálculo diferencial que nos permite ver a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
. Vamos aplicar a regra do produto aqui, porque temos um produto de duas funções de
:
e
.
A regra do produto diz que
, onde
e
são funções de
.
Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Como
, usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função continua sendo
. Novamente, temos um produto de duas funções de
:
e
.
Usando a regra do produto:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
, usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: