Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
d)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais da função . Isso significa que precisamos encontrar como muda em relação a e em relação a de forma separada. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é uma ferramenta do cálculo diferencial que nos permite ver a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é . Vamos aplicar a regra do produto aqui, porque temos um produto de duas funções de : e .
A regra do produto diz que , onde e são funções de .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Como , usamos a regra da cadeia:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função continua sendo . Novamente, temos um produto de duas funções de : e .
Usando a regra do produto:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a , usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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b)
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i)
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
f)
Calcule todas as derivadas parciais das funções dadas.
h)