Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para isso, vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
.
Aqui,
. Então,
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
Ainda com
, a derivada de
em relação a
é
.
Aqui,
. Então,
Portanto,
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiramente, calculamos
, a segunda derivada em relação a
.
Temos
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do quociente:
Simplificando,
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada de
em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Simplificando,
Passo 6
Vamos calcular agora
, a derivada de
em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Simplificando,
Observamos que
, o que está de acordo com o teorema de Clairaut.
Passo 7
Por último, vamos calcular
, a segunda derivada em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
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(a)
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(f)
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(h)
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