Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(b) f(x, y) = ln(x^2 + x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para isso, vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
A função é . A derivada de em relação a é .
Aqui, . Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
Ainda com , a derivada de em relação a é .
Aqui, . Então,
Portanto,

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiramente, calculamos , a segunda derivada em relação a .
Temos . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do quociente:
Simplificando,

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de em relação a .
Temos . Derivando em relação a :
Simplificando,

Passo 6

Vamos calcular agora , a derivada de em relação a .
Temos . Derivando em relação a :
Simplificando,
Observamos que , o que está de acordo com o teorema de Clairaut.

Passo 7

Por último, vamos calcular , a segunda derivada em relação a .
Temos . Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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