Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar uma função em relação a uma das variáveis mantendo a outra constante e depois aplicar isso para as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Essas derivadas mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Derivada parcial em relação a :
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a , tratando como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Elas mostram como a taxa de variação da função em uma direção está mudando em relação à outra direção.
Segunda derivada em relação a ( ):
Derivamos novamente em relação a .
Segunda derivada em relação a ( ):
Derivamos novamente em relação a .
Derivada mista ( ):
Derivamos em relação a .

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:
  • Primeiras Derivadas:
  • Segundas Derivadas:

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(b)