Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar uma função em relação a uma das variáveis mantendo a outra constante e depois aplicar isso para as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Essas derivadas mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Derivada parcial em relação a
:
Para derivar em relação a , tratamos
como uma constante.
Para derivar em relação a
Derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos em relação a , tratando
como uma constante.
Agora, derivamos em relação a
Passo 3
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Elas mostram como a taxa de variação da função em uma direção está mudando em relação à outra direção.
Segunda derivada em relação a
(
):
Derivamos novamente em relação a
.
Derivamos novamente
Segunda derivada em relação a
(
):
Derivamos novamente em relação a
.
Derivamos novamente
Derivada mista (
):
Derivamos em relação a
.
Derivamos
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
-
Primeiras Derivadas:
-
Segundas Derivadas:
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule
, sendo u o versor de
.
Quais séries convergem? E quais divergem?
Quais séries convergem? E quais divergem?
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(b)
(b)