Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

E aí! Vamos dar uma olhada na série que você trouxe: . A gente vai verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem legal para determinar a convergência de séries que envolvem termos com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para facilitar nosso trabalho. Dá uma olhada:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se a série converge observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não funciona e precisamos tentar outro método.

Passo 4

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(a)
Seja . Calcule , sendo u o versor de .
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(b)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(f)