Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=1^infty(2^nn 3^n-1)

Passo 1

E aí! Vamos dar uma olhada na série que você trouxe: . A gente vai verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem legal para determinar a convergência de séries que envolvem termos com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para facilitar nosso trabalho. Dá uma olhada:
2^nn cdot 3^n-1 = 2^nn cdot 3^n-1 = 2^nn cdot 3^n3 = 2^n cdot 3n cdot 3^n = 3 cdot (2/3)^nn
Então, a série fica:
sumn=1^infty 3 cdot (2/3)^nn

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se a série converge observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não funciona e precisamos tentar outro método.

Passo 4

Vamos identificar an = 3 cdot (2/3)^nn na nossa série:
an+1 = 3 cdot (2/3)^n+1n+1 = 3 cdot (2/3)^n cdot (2/3)n+1 = 3 cdot (2/3)^n cdot 23 cdot (n+1) = 2 cdot (2/3)^nn+1
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão an+1an = 2 cdot (2/3)^nn+13 cdot (2/3)^nn = 2n+1 cdot n3 = 2n3(n+1) :
2n3(n+1) = 23 cdot nn+1
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 23 cdot nn+1 = 23 cdot limn to infty nn+1 = 23 cdot 1 = 23 tende ao infinito:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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