Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Basicamente, a gente vai mexer com derivadas parciais, que são as derivadas de funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Derivada parcial em relação a
:
Aqui, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. A função fica:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Derivada parcial em relação a
:
Agora, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos passar para as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas que acabamos de encontrar.
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
Vamos derivar
novamente em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Segunda derivada parcial em relação a
(
):
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Derivadas mistas (
e
):
Vamos derivar
em relação a
e
em relação a
. Devido à igualdade das derivadas mistas, ambas serão iguais.
Vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:
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