Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(f) f(x, y) = x^2 * y / (x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Basicamente, a gente vai mexer com derivadas parciais, que são as derivadas de funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, derivar em relação a e depois em relação a .
Derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos como constante e diferenciamos em relação a . A função fica:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Derivada parcial em relação a :
Agora, tratamos como constante e diferenciamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos passar para as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar as derivadas que acabamos de encontrar.
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
Vamos derivar novamente em relação a .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Segunda derivada parcial em relação a ( ):
Agora, vamos derivar em relação a .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Derivadas mistas ( e ):
Vamos derivar em relação a e em relação a . Devido à igualdade das derivadas mistas, ambas serão iguais.
Vamos derivar em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:

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