Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável isoladamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa que vamos derivar a função em relação a
e depois em relação a
, tratando a outra variável como uma constante.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
usando o mesmo processo. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, derivamos
novamente em relação a
para encontrar
.
Usamos a regra do quociente:
Passo 6
Em seguida, derivamos
em relação a
para encontrar
.
Aplicando a mesma regra do quociente:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada mista, que é derivar
em relação a
ou
em relação a
. Vamos derivar
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:
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