Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável isoladamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa que vamos derivar a função em relação a e depois em relação a , tratando a outra variável como uma constante.

Passo 3

Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, derivamos em relação a usando o mesmo processo. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, derivamos novamente em relação a para encontrar .
Usamos a regra do quociente:

Passo 6

Em seguida, derivamos em relação a para encontrar .
Aplicando a mesma regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada mista, que é derivar em relação a ou em relação a . Vamos derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:

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Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(f)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
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