Seja . Calcule , sendo u o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular a derivada direcional . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e vetores unitários. Precisamos entender como encontrar a direção certa e aplicar a fórmula da derivada direcional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um versor. Um versor é um vetor com comprimento igual a 1, ou seja, é a versão “normalizada” de qualquer vetor. No nosso caso, temos o vetor . Para encontrar o versor , precisamos dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do vetor . A fórmula para o comprimento (ou módulo) de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 4

Agora que sabemos que o comprimento do vetor é 5, podemos encontrar o versor dividindo cada componente do vetor original por 5:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada direcional . Para isso, precisamos primeiro calcular o gradiente da função , que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Para :
Para :

Passo 7

Portanto, o gradiente da função é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 8

Agora, para encontrar a derivada direcional , usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos fazer o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o versor .

Passo 9

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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