Seja
. Calcule
, sendo u o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa calcular a derivada direcional
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e vetores unitários. Precisamos entender como encontrar a direção certa e aplicar a fórmula da derivada direcional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um versor. Um versor é um vetor com comprimento igual a 1, ou seja, é a versão “normalizada” de qualquer vetor. No nosso caso, temos o vetor
. Para encontrar o versor
, precisamos dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento do vetor
. A fórmula para o comprimento (ou módulo) de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 4
Agora que sabemos que o comprimento do vetor é 5, podemos encontrar o versor
dividindo cada componente do vetor original por 5:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a derivada direcional
. Para isso, precisamos primeiro calcular o gradiente da função
, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Portanto, o gradiente da função é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 8
Agora, para encontrar a derivada direcional
, usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos fazer o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o versor
.
Passo 9
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.
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